与えられた3つの式を展開する問題です。 (1) $(x+1)^2(x^2-x+1)^2$ (2) $(a+3b)^3 (a-3b)^3$ (3) $(2a+1)(a-1)(4a^2-2a+1)(a^2+a+1)$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開する問題です。

(1) $(x+1)^2(x^2-x+1)^2$

(2) $(a+3b)^3 (a-3b)^3$

(3) $(2a+1)(a-1)(4a^2-2a+1)(a^2+a+1)$

2. 解き方の手順

(1)

$(x+1)^2(x^2-x+1)^2$ を展開します。

まず、$x+1 = A$ とおくと、$x^2-x+1 = (x+1)^2 - 3x = A^2 - 3x$ となります。

しかし、この方法では複雑になるため、別の方法を試します。

$(x+1)(x^2-x+1) = x^3 + 1$ であることを利用します。

$(x+1)^2(x^2-x+1)^2 = [(x+1)(x^2-x+1)]^2 = (x^3+1)^2$

$(x^3+1)^2 = (x^3)^2 + 2(x^3)(1) + 1^2 = x^6 + 2x^3 + 1$

(2)

$(a+3b)^3 (a-3b)^3$ を展開します。

$(a+3b)^3 (a-3b)^3 = [(a+3b)(a-3b)]^3 = (a^2 - (3b)^2)^3 = (a^2 - 9b^2)^3$

$(a^2 - 9b^2)^3 = (a^2)^3 - 3(a^2)^2(9b^2) + 3(a^2)(9b^2)^2 - (9b^2)^3$

$= a^6 - 27a^4b^2 + 243a^2b^4 - 729b^6$

(3)

$(2a+1)(a-1)(4a^2-2a+1)(a^2+a+1)$ を展開します。

$(2a+1)(4a^2-2a+1) = (2a)^3 + 1^3 = 8a^3 + 1$

$(a-1)(a^2+a+1) = a^3 - 1$

したがって、

$(2a+1)(a-1)(4a^2-2a+1)(a^2+a+1) = (8a^3+1)(a^3-1) = 8a^6 - 8a^3 + a^3 - 1 = 8a^6 - 7a^3 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^6 + 2x^3 + 1$

(2) $a^6 - 27a^4b^2 + 243a^2b^4 - 729b^6$

(3) $8a^6 - 7a^3 - 1$