次の分数式の計算をせよ。 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} + \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}$

## 問題 2(1)

1. 問題の内容

次の分数式の計算をせよ。

$\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1} + \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)}$

2. 解き方の手順

まず、全ての分数を共通の分母 $(x-1)(x+1)$ で表します。

$\frac{1}{x+1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$

$\frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

次に、分子を全て足し合わせます。

$\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1 + 2(x+1) + 3x+1}{(x-1)(x+1)}$

分子を整理します。

$x - 1 + 2x + 2 + 3x + 1 = 6x + 2$

よって、

$\frac{6x+2}{(x-1)(x+1)}$

分子を2でくくると

$\frac{2(3x+1)}{(x-1)(x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{2(3x+1)}{(x-1)(x+1)}$

## 問題 2(2)

1. 問題の内容

次の分数式の計算をせよ。

$\frac{x+2}{x^2+x-2} + \frac{x+3}{x^2-4x+3}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$

よって、与式は

$\frac{x+2}{(x+2)(x-1)} + \frac{x+3}{(x-1)(x-3)}$

次に、共通因数を約分します。

$\frac{1}{x-1} + \frac{x+3}{(x-1)(x-3)}$

共通の分母 $(x-1)(x-3)$ で表します。

$\frac{x-3}{(x-1)(x-3)} + \frac{x+3}{(x-1)(x-3)}$

分子を足し合わせます。

$\frac{x-3 + x+3}{(x-1)(x-3)} = \frac{2x}{(x-1)(x-3)}$

3. 最終的な答え

$\frac{2x}{(x-1)(x-3)}$

## 問題 2(3)

1. 問題の内容

次の分数式の計算をせよ。

$y + \frac{y^2}{x-y}$

2. 解き方の手順

まず、$y$を分数の形にします。

$y = \frac{y(x-y)}{x-y}$

次に、分数を足し合わせます。

$\frac{y(x-y)}{x-y} + \frac{y^2}{x-y} = \frac{y(x-y) + y^2}{x-y}$

分子を整理します。

$y(x-y) + y^2 = xy - y^2 + y^2 = xy$

よって、

$\frac{xy}{x-y}$

3. 最終的な答え

$\frac{xy}{x-y}$

## 問題 2(4)

1. 問題の内容

次の分数式の計算をせよ。

$\frac{a}{ab+b^2} - \frac{b}{a^2+ab}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$ab + b^2 = b(a+b)$

$a^2 + ab = a(a+b)$

よって、与式は

$\frac{a}{b(a+b)} - \frac{b}{a(a+b)}$

次に、共通の分母 $ab(a+b)$ で表します。

$\frac{a^2}{ab(a+b)} - \frac{b^2}{ab(a+b)}$

分子を計算します。

$\frac{a^2 - b^2}{ab(a+b)}$

分子を因数分解します。

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

よって、

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab(a+b)}$

共通因数を約分します。

$\frac{a-b}{ab}$

3. 最終的な答え

$\frac{a-b}{ab}$