多項式 $A = 2x^2 + 3xy - y^2$、$B = -3x^2 - xy + 2y^2$、$C = -x^2 + xy + 3y^2$ が与えられたとき、$2(A - B) - (4A + B - C)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

多項式 $A = 2x^2 + 3xy - y^2$、$B = -3x^2 - xy + 2y^2$、$C = -x^2 + xy + 3y^2$ が与えられたとき、$2(A - B) - (4A + B - C)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$2(A - B) - (4A + B - C)$ を展開します。

$2(A - B) - (4A + B - C) = 2A - 2B - 4A - B + C = -2A - 3B + C$

次に、$A, B, C$ を代入します。

$-2A - 3B + C = -2(2x^2 + 3xy - y^2) - 3(-3x^2 - xy + 2y^2) + (-x^2 + xy + 3y^2)$

展開して整理します。

$-2(2x^2 + 3xy - y^2) = -4x^2 - 6xy + 2y^2$

$-3(-3x^2 - xy + 2y^2) = 9x^2 + 3xy - 6y^2$

よって、

$-2A - 3B + C = (-4x^2 - 6xy + 2y^2) + (9x^2 + 3xy - 6y^2) + (-x^2 + xy + 3y^2)$

$= (-4 + 9 - 1)x^2 + (-6 + 3 + 1)xy + (2 - 6 + 3)y^2$

$= 4x^2 - 2xy - y^2$

3. 最終的な答え

$4x^2 - 2xy - y^2$