(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + k - 3$ が $x$ 軸と共有点を持つような実数 $k$ の値または値の範囲を求めよ。 (2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = kx - 2$ が接するような実数 $k$ の値または値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + k - 3$ が $x$ 軸と共有点を持つような実数 $k$ の値または値の範囲を求めよ。

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = kx - 2$ が接するような実数 $k$ の値または値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 2x + k - 3$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件は、2次方程式 $x^2 - 2x + k - 3 = 0$ が実数解を持つことである。

これは、判別式 $D$ が $D \ge 0$ を満たすことと同値である。

判別式 $D$ は、

$D = (-2)^2 - 4(1)(k-3) = 4 - 4k + 12 = 16 - 4k$

したがって、$16 - 4k \ge 0$ を解くと、

$4k \le 16$

$k \le 4$

(2) 放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と直線 $y = kx - 2$ が接する条件は、2次方程式 $x^2 - 3x + 2 = kx - 2$ が重解を持つことである。

この方程式を整理すると、

$x^2 - 3x + 2 - kx + 2 = 0$

$x^2 - (3+k)x + 4 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ を満たすことである。

判別式 $D$ は、

$D = (-(3+k))^2 - 4(1)(4) = (3+k)^2 - 16 = k^2 + 6k + 9 - 16 = k^2 + 6k - 7$

したがって、$k^2 + 6k - 7 = 0$ を解くと、

$(k+7)(k-1) = 0$

$k = -7, 1$

3. 最終的な答え

(1) $k \le 4$

(2) $k = -7, 1$