2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ が重解を持つとき、定数 $a$ の値と重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ が重解を持つとき、定数 $a$ の値と重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が 0 になることです。

与えられた2次方程式 $x^2 + ax + 1 = 0$ において、$D = b^2 - 4ac$ を計算すると、

$D = a^2 - 4(1)(1) = a^2 - 4$ となります。

重解を持つためには、$D = 0$ である必要があるので、

$a^2 - 4 = 0$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

(1) $a = 2$ のとき、方程式は $x^2 + 2x + 1 = 0$ となり、これは $(x+1)^2 = 0$ と因数分解できます。したがって、重解は $x = -1$ です。

(2) $a = -2$ のとき、方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、これは $(x-1)^2 = 0$ と因数分解できます。したがって、重解は $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき、重解は $x = -1$

$a = -2$ のとき、重解は $x = 1$