多項式 $P(x) = 3x^3 + x^2 + x + 1$ を $3x + 1$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 3x^3 + x^2 + x + 1$ を $3x + 1$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を使用します。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x - a$ で割ったときの余りは $P(a)$ であるというものです。今回は、$3x + 1 = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x + 1 = 0$ を解くと、

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$

したがって、$P(x)$ を $3x + 1$ で割った余りは、$P(-\frac{1}{3})$ です。

$P(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 + (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3}) + 1$

$P(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{27}) + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1$

$P(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 1$

$P(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 1$

$P(-\frac{1}{3}) = \frac{-1 + 3}{3}$

$P(-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$