与えられた方程式 $2x + \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{2}$ を解いて得られた解 $x = -\frac{\pi}{12}$ が、区間 $0 \le x < \pi$ に存在するための操作として $\pi$ を加えることが記述されています。 質問は、なぜ$\pi$を加えることで、周期が半分にもかかわらずうまくいくのか、ということです。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $2x + \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{2}$ を解いて得られた解 $x = -\frac{\pi}{12}$ が、区間 $0 \le x < \pi$ に存在するための操作として $\pi$ を加えることが記述されています。

質問は、なぜ$\pi$を加えることで、周期が半分にもかかわらずうまくいくのか、ということです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を解きます。

$2x + \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{2}$

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}\pi$

$2x = \frac{3\pi - 4\pi}{6}$

$2x = -\frac{\pi}{6}$

$x = -\frac{\pi}{12}$

この解は $0 \le x < \pi$ の範囲に入っていません。この範囲に入れるために、$\pi$ を足します。

$x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$

これは $0 \le x < \pi$ の範囲に入ります。

一般的に、$2x + \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{2} + n\pi$ を解くことになります。（nは整数）

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}\pi + n\pi = -\frac{\pi}{6} + n\pi = \frac{(6n-1)\pi}{6}$

$x = \frac{(6n-1)\pi}{12}$

$0 \le x < \pi$ という条件から

$0 \le \frac{(6n-1)\pi}{12} < \pi$

$0 \le 6n - 1 < 12$

$1 \le 6n < 13$

$\frac{1}{6} \le n < \frac{13}{6} = 2.166...$

したがって、$n = 1$ または $n = 2$

$n = 1$ のとき、 $x = \frac{5\pi}{12}$

$n = 2$ のとき、$x = \frac{11\pi}{12}$

問題文には周期が半分とありますが、もともとの式が$2x$の形なので、周期が$\pi$となるようなsin(2x)やcos(2x)の解を求めている場合、一般解を求めるときに$\pi$を足すことで解が求まるからです。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{\pi}{12}$ に $\pi$ を加えることで区間 $0 \le x < \pi$ に含まれる解が得られるのは、元の式が $2x$ を含んでいるため、周期が $\pi$ になるからです。一般解を求める際に $\pi$ を足すことで、区間内に含まれる解を求めることができます。