与えられた式を簡略化します。式は次の通りです。 $\frac{\sqrt{-3\sqrt{-2}+\sqrt{-2}}}{a+\sqrt{-3}}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化します。式は次の通りです。

$\frac{\sqrt{-3\sqrt{-2}+\sqrt{-2}}}{a+\sqrt{-3}}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-2}$と$\sqrt{-3}$をそれぞれ$i$を使って表します。

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$

これらの値を元の式に代入します。

$\frac{\sqrt{-3\sqrt{2}i+\sqrt{2}i}}{a+\sqrt{3}i}$

$\frac{\sqrt{\sqrt{2}i(-3+1)}}{a+\sqrt{3}i}$

$\frac{\sqrt{-2\sqrt{2}i}}{a+\sqrt{3}i}$

$\sqrt{-2\sqrt{2}i}$を変形します。

$\sqrt{-2\sqrt{2}i} = \sqrt{2\sqrt{2}(-i)}$

$-i = e^{i(3\pi/2 + 2\pi k)}$

$\sqrt{-i} = e^{i(3\pi/4 + \pi k)}$

$k=0$のとき、$\sqrt{-i} = e^{i(3\pi/4)} = \cos(3\pi/4) + i \sin(3\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}$

したがって、

$\sqrt{-2\sqrt{2}i} = \sqrt{2\sqrt{2}}(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(-1+i) = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$

したがって、元の式は、

$\frac{-\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{a+\sqrt{3}i}$

ここで、分母の共役複素数を分子と分母にかけます。

$\frac{(-\sqrt{2} + \sqrt{2}i)(a-\sqrt{3}i)}{(a+\sqrt{3}i)(a-\sqrt{3}i)}$

$\frac{-\sqrt{2}a + \sqrt{6}i + \sqrt{2}ai + \sqrt{6}}{a^2+3}$

$\frac{(-\sqrt{2}a+\sqrt{6}) + (\sqrt{6}+\sqrt{2}a)i}{a^2+3}$

実部と虚部を分けます。

$\frac{-\sqrt{2}a+\sqrt{6}}{a^2+3} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}a}{a^2+3}i$

3. 最終的な答え

$\frac{-\sqrt{2}a+\sqrt{6}}{a^2+3} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}a}{a^2+3}i$

あるいは、

$\frac{\sqrt{2}(-a+\sqrt{3})}{a^2+3} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+a)}{a^2+3}i$