与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、$Ax = b$ を満たすベクトル $x$ を求めます。ここで、$b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、$Ax = b$ を満たすベクトル $x$ を求めます。ここで、$b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

連立一次方程式を行列の形で表現し、ガウスの消去法または他の方法を用いて解を求めます。

与えられた連立一次方程式は次のようになります。

$x_1 + x_3 = 0$

$x_2 + x_4 = 1$

$x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 1$

$2x_2 + x_3 = 0$

1つ目の式から $x_1 = -x_3$ が得られます。

4つ目の式から $x_3 = -2x_2$ が得られます。

よって、$x_1 = 2x_2$ です。

3つ目の式にこれらを代入すると、

$2x_2 + x_2 + 2(-2x_2) + x_4 = 1$

$3x_2 - 4x_2 + x_4 = 1$

$-x_2 + x_4 = 1$

$x_4 = x_2 + 1$

2つ目の式に代入すると、

$x_2 + x_2 + 1 = 1$

$2x_2 = 0$

$x_2 = 0$

したがって、$x_1 = 2x_2 = 0$、$x_3 = -2x_2 = 0$、$x_4 = x_2 + 1 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$