画像にはいくつかの問題が含まれていますが、ここでは問題(5)と(6)を解きます。 (5) 等式 $x + 2y = 10$ を成り立たせる自然数 $x, y$ の組は全部で何組あるか答えなさい。 (6) $x, y$ が自然数であるとき、2元1次方程式 $6x + 5y = 51$ の解をすべて求めなさい。

1. 問題の内容

画像にはいくつかの問題が含まれていますが、ここでは問題(5)と(6)を解きます。

(5) 等式 $x + 2y = 10$ を成り立たせる自然数 $x, y$ の組は全部で何組あるか答えなさい。

(6) $x, y$ が自然数であるとき、2元1次方程式 $6x + 5y = 51$ の解をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

(5) $x + 2y = 10$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求めます。$x$ と $y$ は自然数なので、$x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ です。

$2y = 10 - x$ より、$y = \frac{10 - x}{2}$ です。$y$ は自然数なので、$10 - x$ は正の偶数でなければなりません。

$x$ が奇数のとき、$10-x$ は奇数となるため、$x$ は偶数でなければなりません。

$x$ は自然数であるから、$x \ge 1$。また、$y \ge 1$ なので、$\frac{10 - x}{2} \ge 1$ より、$10 - x \ge 2$ 、すなわち $x \le 8$ 。

したがって、$x$ は偶数で、$1 \le x \le 8$ となるので、$x$ は $2, 4, 6, 8$ のいずれかです。

- $x = 2$ のとき、$y = \frac{10 - 2}{2} = 4$

- $x = 4$ のとき、$y = \frac{10 - 4}{2} = 3$

- $x = 6$ のとき、$y = \frac{10 - 6}{2} = 2$

- $x = 8$ のとき、$y = \frac{10 - 8}{2} = 1$

よって、$(x, y) = (2, 4), (4, 3), (6, 2), (8, 1)$ の4組です。

(6) $6x + 5y = 51$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求めます。$x$ と $y$ は自然数なので、$x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ です。

$5y = 51 - 6x$ より、$y = \frac{51 - 6x}{5}$ です。$y$ は自然数なので、$51 - 6x$ は5の倍数でなければなりません。

$51 - 6x \equiv 0 \pmod{5}$ より、$51 \equiv 6x \pmod{5}$ です。

$1 \equiv x \pmod{5}$ となるので、$x = 5k + 1$ ($k$は0以上の整数)と表せます。

$x$ と $y$ は自然数であるから、$x \ge 1$ かつ $y \ge 1$ です。

$y = \frac{51 - 6x}{5} \ge 1$ より、$51 - 6x \ge 5$ 、すなわち $6x \le 46$ 、したがって $x \le \frac{46}{6} = 7.666...$

$x = 5k+1$ と $x \le 7.666...$ より、

- $k = 0$ のとき、$x = 1$ 、$y = \frac{51 - 6}{5} = \frac{45}{5} = 9$

- $k = 1$ のとき、$x = 6$ 、$y = \frac{51 - 36}{5} = \frac{15}{5} = 3$

したがって、$(x, y) = (1, 9), (6, 3)$ の2組です。

3. 最終的な答え

(5) 4組

(6) $(x, y) = (1, 9), (6, 3)$