次の2つの式を因数分解します。 (1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$ (2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解します。

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + xy - 4x - y + 3$

この式を因数分解するために、まず $x$ について整理します。

$x^2 + (y - 4)x - (y - 3)$

たすき掛けを試みます。

$(x + 1)(x + y - 3) = x^2 + xy - 3x + x + y - 3 = x^2 + xy - 2x + y - 3$

$(x - 1)(x + y - 3) = x^2 + xy - 3x - x - y + 3 = x^2 + xy - 4x - y + 3$

したがって、

$x^2 + xy - 4x - y + 3 = (x - 1)(x + y - 3)$

(2) $x^2 + 3ax - 9a - 9$

この式を因数分解するために、まず $x$ について整理します。

$x^2 + 3ax - (9a + 9) = x^2 + 3ax - 9(a + 1)$

解の公式を使うことを検討します。

$x = \frac{-3a \pm \sqrt{(3a)^2 - 4(1)(-9(a + 1))}}{2}$

$= \frac{-3a \pm \sqrt{9a^2 + 36a + 36}}{2} = \frac{-3a \pm \sqrt{9(a^2 + 4a + 4)}}{2} = \frac{-3a \pm 3(a + 2)}{2}$

$x_1 = \frac{-3a + 3a + 6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3a - 3a - 6}{2} = -3a - 3 = -3(a + 1)$

よって、

$(x - 3)(x + 3a + 3) = x^2 + 3ax + 3x - 3x - 9a - 9 = x^2 + 3ax - 9a - 9$

したがって、

$x^2 + 3ax - 9a - 9 = (x - 3)(x + 3a + 3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + y - 3)$

(2) $(x - 3)(x + 3a + 3)$