## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)$

(2) $(x - y - z)(x - y + z)$

(3) $(x + 1)^2(x - 1)^2$

(4) $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$

## 解き方の手順

** (1) $(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 3x + 2)$**

1. $x^2 + 2 = A$ と置換すると、式は $(A + 3x)(A - 3x)$ となります。

2. これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、$A^2 - (3x)^2$ となります。

3. $A$ を元に戻すと、$(x^2 + 2)^2 - (3x)^2$ となります。

4. $(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$

5. $(3x)^2 = 9x^2$

6. したがって、$x^4 + 4x^2 + 4 - 9x^2 = x^4 - 5x^2 + 4$

** (2) $(x - y - z)(x - y + z)$**

1. $x - y = A$ と置換すると、式は $(A - z)(A + z)$ となります。

2. これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、$A^2 - z^2$ となります。

3. $A$ を元に戻すと、$(x - y)^2 - z^2$ となります。

4. $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

5. したがって、$x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

** (3) $(x + 1)^2(x - 1)^2$**

1. 式を $((x + 1)(x - 1))^2$ と変形します。

2. $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$

3. したがって、$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

** (4) $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$**

1. $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$

2. したがって、$(x^2 + 1)(x^2 - 1)$

3. これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、$(x^2)^2 - 1^2$ となります。

4. したがって、$x^4 - 1$

## 最終的な答え

(1) $x^4 - 5x^2 + 4$

(2) $x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

(3) $x^4 - 2x^2 + 1$

(4) $x^4 - 1$