$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ が与えられています。このとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ が与えられています。このとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{\sqrt{7}}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{7}{4}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると、

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{7}{4}$

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{8}$

ここで、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{2}$ と $\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{8}$ を用いて、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ を解とする二次方程式を作成します。

$t^2 - (\sin \theta + \cos \theta)t + \sin \theta \cos \theta = 0$

$t^2 - \frac{\sqrt{7}}{2} t + \frac{3}{8} = 0$

この二次方程式を解きます。

$8t^2 - 4\sqrt{7}t + 3 = 0$

$t = \frac{4\sqrt{7} \pm \sqrt{(4\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8} = \frac{4\sqrt{7} \pm \sqrt{112 - 96}}{16} = \frac{4\sqrt{7} \pm \sqrt{16}}{16} = \frac{4\sqrt{7} \pm 4}{16} = \frac{\sqrt{7} \pm 1}{4}$

$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ より $\cos \theta \ge \sin \theta$ なので、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$、$\sin \theta = \frac{\sqrt{7} - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta \cos \theta = \frac{3}{8}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}$