与えられた問題は、以下の3つのパートに分かれています。 1. 式の展開：$(x+3)^3$, $(3x+1)^3$, $(2x-y)^3$ を展開する。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つのパートに分かれています。

1. 式の展開：$(x+3)^3$, $(3x+1)^3$, $(2x-y)^3$ を展開する。

2. 因数分解：$x^3+1$, $x^3+64$, $27x^3-y^3$ を因数分解する。

3. 分数の約分：$\frac{xy}{xyz}$, $\frac{12a^4b}{3ab^3}$, $\frac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}$, $\frac{x+1}{2x-1} \times \frac{2x-1}{x+7}$, $\frac{x+5}{x-2} \div \frac{x+5}{x-6}$, $\frac{x-1}{x^2+x+2}+\frac{3}{x^2+x+2}$, $\frac{1}{x+1}-\frac{2}{(x+1)(x+3)}$ をそれぞれ約分し、既約分数式にする。

2. 解き方の手順

1. 式の展開

* (1) $(x+3)^3 = x^3 + 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

* (2) $(3x+1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

* (3) $(2x-y)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(y) + 3(2x)(y)^2 - y^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$

2. 因数分解

* (1) $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ (和の立方)

* (2) $x^3+64 = x^3+4^3 = (x+4)(x^2-4x+16)$ (和の立方)

* (3) $27x^3-y^3 = (3x)^3-y^3 = (3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$ (差の立方)

3. 分数の約分

* (1) $\frac{xy}{xyz} = \frac{1}{z}$

* (2) $\frac{12a^4b}{3ab^3} = \frac{4a^3}{b^2}$

* (3) $\frac{x^2+x-6}{x^2+3x-10} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x+5)(x-2)} = \frac{x+3}{x+5}$

* (4) $\frac{x+1}{2x-1} \times \frac{2x-1}{x+7} = \frac{x+1}{x+7}$

* (5) $\frac{x+5}{x-2} \div \frac{x+5}{x-6} = \frac{x+5}{x-2} \times \frac{x-6}{x+5} = \frac{x-6}{x-2}$

* (6) $\frac{x-1}{x^2+x+2}+\frac{3}{x^2+x+2} = \frac{x-1+3}{x^2+x+2} = \frac{x+2}{x^2+x+2}$

* (7) $\frac{1}{x+1}-\frac{2}{(x+1)(x+3)} = \frac{x+3}{(x+1)(x+3)}-\frac{2}{(x+1)(x+3)} = \frac{x+3-2}{(x+1)(x+3)} = \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{x+3}$

3. 最終的な答え

1. 式の展開

* (1) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

* (2) $27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

* (3) $8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$

2. 因数分解

* (1) $(x+1)(x^2-x+1)$

* (2) $(x+4)(x^2-4x+16)$

* (3) $(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$

3. 分数の約分

* (1) $\frac{1}{z}$

* (2) $\frac{4a^3}{b^2}$

* (3) $\frac{x+3}{x+5}$

* (4) $\frac{x+1}{x+7}$

* (5) $\frac{x-6}{x-2}$

* (6) $\frac{x+2}{x^2+x+2}$

* (7) $\frac{1}{x+3}$