画像に書かれている内容は「部分分数分解の式を教えてください」です。つまり、部分分数分解のやり方についての質問です。

1. 問題の内容

画像に書かれている内容は「部分分数分解の式を教えてください」です。つまり、部分分数分解のやり方についての質問です。

2. 解き方の手順

部分分数分解は、一つの複雑な分数を、より単純な複数の分数の和や差で表すテクニックです。基本的な考え方と、具体的な例を通して説明します。

* **基本的な考え方**

与えられた分数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ を、より単純な分数 $\frac{A}{R(x)}$ や $\frac{B}{S(x)}$ などの和や差で表すことを目指します。ここで、$P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$, $S(x)$ は多項式であり、$Q(x) = R(x)S(x)$ のように分解できるとします。

* **部分分数分解の典型的なパターン**

1. **分母が異なる一次式の積の場合:**

$\frac{1}{(x-a)(x-b)}$ という形の場合、次のように分解します。

$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

ここで、$A$ と $B$ は定数です。両辺に $(x-a)(x-b)$ をかけて、$A$ と $B$ の値を求めます。

$(x-a)(x-b) \frac{1}{(x-a)(x-b)} = (x-a)(x-b) \left( \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} \right)$

$1 = A(x-b) + B(x-a)$

$x=a$ のとき、$1 = A(a-b)$ より $A = \frac{1}{a-b}$

$x=b$ のとき、$1 = B(b-a)$ より $B = \frac{1}{b-a}$

よって、$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b} \frac{1}{x-a} + \frac{1}{b-a} \frac{1}{x-b}$

2. **分母に同じ一次式のべき乗を含む場合:**

$\frac{1}{(x-a)^2 (x-b)}$ という形の場合、次のように分解します。

$\frac{1}{(x-a)^2(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{x-b}$

ここでも、$A$, $B$, $C$ は定数です。両辺に $(x-a)^2(x-b)$ をかけて、$A$, $B$, $C$ の値を求めます。

$(x-a)^2(x-b) \frac{1}{(x-a)^2(x-b)} = (x-a)^2(x-b) \left( \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2} + \frac{C}{x-b} \right)$

$1 = A(x-a)(x-b) + B(x-b) + C(x-a)^2$

$x=a$ のとき、$1 = B(a-b)$ より $B = \frac{1}{a-b}$

$x=b$ のとき、$1 = C(b-a)^2$ より $C = \frac{1}{(b-a)^2}$

$A$ は、$x$ の係数を比較することで求まります。

一般的に、部分分数分解は、分母を因数分解し、各因数に対応する項を立て、係数を決定するという手順で行われます。係数の決定には、数値を代入する方法や、係数比較法が用いられます。

3. 最終的な答え

部分分数分解は、与えられた分数を、より単純な分数の和や差で表すテクニックです。分母の因数分解が重要であり、分解後の各項の係数を適切に決定する必要があります。具体例として、$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$ のように分解し、AとBを求める方法を説明しました。 より複雑な形の場合も、同様の手順で分解できます。