関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ の $-1 \le x \le 0$ における最小値が1となるように、定数 $c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 - 2x + c$ の $-1 \le x \le 0$ における最小値が1となるように、定数 $c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 - 2x + c$

$y = -3(x^2 + \frac{2}{3}x) + c$

$y = -3(x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2) + c$

$y = -3(x + \frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{9}) + c$

$y = -3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + c$

このグラフは上に凸な放物線であり、軸は $x = -\frac{1}{3}$ です。定義域 $-1 \le x \le 0$ は軸を含んでいるので、頂点で最大値をとります。最小値は $x = -1$ または $x = 0$ でとる可能性があります。

$x = -1$ のとき $y = -3(-1)^2 - 2(-1) + c = -3 + 2 + c = -1 + c$

$x = 0$ のとき $y = -3(0)^2 - 2(0) + c = c$

軸 $x = -\frac{1}{3}$ が $-1 \le x \le 0$ の範囲にあるので、範囲の端点である $x = -1$ と $x = 0$ での $y$ の値を比較します。

$x = -1$ のとき $y = -1 + c$

$x = 0$ のとき $y = c$

$c - 1 < c$ なので、$x = -1$ のときに最小値をとることがわかります。

問題文より、最小値が1なので、

$-1 + c = 1$

$c = 2$

3. 最終的な答え

$c = 2$