複素数の累乗 $( \frac{1+\sqrt{3}i}{2} )^{2014}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数の累乗 $( \frac{1+\sqrt{3}i}{2} )^{2014}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ を極形式で表します。

複素数 $z = x + yi$ の極形式は、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されます。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ であり、$\theta$ は偏角です。

$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ に対して、$x = \frac{1}{2}$、$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、$\frac{1+\sqrt{3}i}{2} = \cos\theta + i\sin\theta$ を満たす$\theta$を求めます。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

よって、$\frac{1+\sqrt{3}i}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$ と表せます。

次に、ド・モアブルの定理を使います。ド・モアブルの定理は、$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ です。

$(\frac{1+\sqrt{3}i}{2})^{2014} = (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})^{2014} = \cos(\frac{2014\pi}{3}) + i\sin(\frac{2014\pi}{3})$

ここで、$\frac{2014}{3} = 671 + \frac{1}{3}$ なので、$\frac{2014\pi}{3} = 671\pi + \frac{\pi}{3}$ となります。

$\cos(671\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(671\pi)\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(671\pi)\sin(\frac{\pi}{3})$

$= (-1)^{671}\cos(\frac{\pi}{3}) - 0 = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(671\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(671\pi)\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(671\pi)\sin(\frac{\pi}{3})$

$= 0 + (-1)^{671}\sin(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$(\frac{1+\sqrt{3}i}{2})^{2014} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$