与えられた行列の計算問題(4)から(8)について、空欄に適切な行列やベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列の計算問題(4)から(8)について、空欄に適切な行列やベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、行列の積または行列とベクトルの積を計算し、与えられた結果と一致するように空欄を埋めます。

* 4)

左辺の行列をAとします。求める行列をXとすると、$AX=B$ となるような行列Xを求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$X = A^{-1}B$を計算すれば良いのですが、ここでは当てはめによって解を求めます。

$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$はAの列ベクトルを並べ替えた形であることから、$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$が答えです。

* 5)

左辺の行列をAとします。求めるベクトルをXとすると、$AX = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ となるようなベクトルXを求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$とすると、$AX = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$となるので、正しくありません。

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$とすると、$AX = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$となるので、正しくありません。

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$とすると、$AX = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$となるので、正しくありません。

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$を代入すると、$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$なので、違います。

$X = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$を代入すると、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$なので、違います。

$X = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$を代入すると、$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$なので、違います。

$X = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$を代入すると、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$なので、違います。

正解は$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

* 6)

左辺の行列をAとします。求めるベクトルをXとすると、$XA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$となるようなベクトルXを求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$XA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

* 7)

左辺の行列をAとします。求めるベクトルをXとすると、$XA = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$となるようなベクトルXを求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$とすると、$XA = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$となるので、正しくありません。

$X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ となるベクトルXを求めます。

$X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$が正解です。

* 8)

右辺の行列をBとします。求める行列をXとすると、$AX = B$ となるような行列Xを求めます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ を代入すると、正しくありません。

3. 最終的な答え

4) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

5) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

6) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

7) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

8) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$