問題は、与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、あるベクトル $\mathbf{x}$ を左から掛けると、ベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ になるようなベクトル $\mathbf{x}$ を求める問題です。つまり、$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ を満たす $\mathbf{x}$ を求めます。ただし、画像の表記から、ベクトル $\mathbf{b}$ は行ベクトルであることがわかります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、あるベクトル $\mathbf{x}$ を左から掛けると、ベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ になるようなベクトル $\mathbf{x}$ を求める問題です。つまり、$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ を満たす $\mathbf{x}$ を求めます。ただし、画像の表記から、ベクトル $\mathbf{b}$ は行ベクトルであることがわかります。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{x}$ を $\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \end{bmatrix}$ とすると、与えられた行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x}$ の積は次のようになります。

$A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_3 \\ x_2 + x_4 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 \\ 2x_2 + x_3 \end{bmatrix}$

これがベクトル $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ に等しいので、以下の連立方程式が得られます。

\begin{align*} x_1 + x_3 &= 0 \\ x_2 + x_4 &= 1 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 &= 0 \\ 2x_2 + x_3 &= 1 \end{align*}

この連立方程式を解きます。

まず、$x_1 + x_3 = 0$ より、$x_1 = -x_3$ です。

次に、$x_2 + x_4 = 1$ より、$x_4 = 1 - x_2$ です。

これらの結果を $x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0$ に代入すると、

$-x_3 + x_2 + 2x_3 + (1 - x_2) = 0$

$x_3 + 1 = 0$

$x_3 = -1$

すると、$x_1 = -x_3 = -(-1) = 1$ です。

次に、$2x_2 + x_3 = 1$ に $x_3 = -1$ を代入すると、

$2x_2 - 1 = 1$

$2x_2 = 2$

$x_2 = 1$

すると、$x_4 = 1 - x_2 = 1 - 1 = 0$ です。

したがって、$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$