分母が2次式の場合の、部分分数分解の式を教えてほしいという質問です。

1. 問題の内容

分母が2次式の場合の、部分分数分解の式を教えてほしいという質問です。

2. 解き方の手順

分母が2次式の場合の、部分分数分解の方法を説明します。

* **場合1：分母が異なる2つの1次式の積に因数分解できる場合**

分母が $(x-a)(x-b)$ ($a \neq b$) のように、異なる2つの1次式の積に因数分解できる場合、以下の式で部分分数分解できます。

$\frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

ここで、$f(x)$ は分子の多項式、$A$ と $B$ は定数です。$A$ と $B$ の値は、両辺に $(x-a)(x-b)$ を掛けて、得られた式の係数を比較するか、$x = a$ および $x = b$ を代入することで求められます。

* **場合2：分母が1次式の2乗で表される場合**

分母が $(x-a)^2$ のように、1次式の2乗で表される場合、以下の式で部分分数分解できます。

$\frac{f(x)}{(x-a)^2} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$

ここで、$f(x)$ は分子の多項式、$A$ と $B$ は定数です。$A$ と $B$ の値は、両辺に $(x-a)^2$ を掛けて、得られた式の係数を比較するか、適切な $x$ の値を代入することで求められます。

* **場合3：分母が因数分解できない2次式の場合**

分母が $ax^2 + bx + c$ のように、実数の範囲で因数分解できない2次式の場合、$bx+c$を1つの定数とみなします。

この場合は、以下のような形になります。

$\frac{f(x)}{ax^2 + bx + c} = \frac{Ax+B}{ax^2 + bx + c}$

ここで、$f(x)$ は分子の多項式、$A$ と $B$ は定数です。$A$ と $B$ の値は、両辺の係数を比較することで求められます。

3. 最終的な答え

分母が2次式の場合、上記３パターンによって部分分数分解の式が変わります。

重要なのは、分母がどのように因数分解できるかによって、分解後の分数の形が決まるということです。

分解後の分子は、分母よりも次数が低い多項式になります。（定数も0次式と考えると当てはまります。）