与えられた行列とベクトルの積が別のベクトルに等しいという連立一次方程式を解き、解ベクトルを求めます。つまり、以下の式を満たすベクトル $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}$ を求めます。 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列とベクトルの積が別のベクトルに等しいという連立一次方程式を解き、解ベクトルを求めます。つまり、以下の式を満たすベクトル $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix}$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

与えられた行列とベクトルを用いて、連立一次方程式を立てます。

$x_1 + x_3 = 0$

$x_2 + x_4 = 1$

$x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 1$

$2x_2 + x_3 = 2$

$x_1$ を $x_3$ で表すと、$x_1 = -x_3$ となります。

$x_2$ を $x_4$ で表すと、$x_2 = 1 - x_4$ となります。

これらを3番目の式に代入すると、以下のようになります。

$-x_3 + (1 - x_4) + 2x_3 + x_4 = 1$

$x_3 = 0$

$x_3 = 0$ を $x_1 = -x_3$ に代入すると、$x_1 = 0$ となります。

$x_3 = 0$ を $2x_2 + x_3 = 2$ に代入すると、$2x_2 = 2$ となり、$x_2 = 1$ となります。

$x_2 = 1$ を $x_2 + x_4 = 1$ に代入すると、$1 + x_4 = 1$ となり、$x_4 = 0$ となります。

したがって、解は $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$