(1) 多項式 $A$ を $2x+1$ で割ると、商が $x^2-3x-2$、余りが $4$ である。$A$ を求める。 (2) 多項式 $x^3+x^2-3x-1$ を $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x+1$ である。$B$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $A$ を $2x+1$ で割ると、商が $x^2-3x-2$、余りが $4$ である。$A$ を求める。

(2) 多項式 $x^3+x^2-3x-1$ を $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x+1$ である。$B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 割る数、商、余りの関係から、$A$ は次のように表せる。

$A = (2x+1)(x^2-3x-2) + 4$

展開して整理する。

$A = 2x^3 - 6x^2 - 4x + x^2 - 3x - 2 + 4$

$A = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

(2) 割る数、商、余りの関係から、$x^3+x^2-3x-1$ は次のように表せる。

$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x-1) + (-3x+1)$

$B(x-1) = x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1$

$B(x-1) = x^3 + x^2 - 2$

$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x-1}$

ここで、$x^3 + x^2 - 2$ を $x-1$ で割る。

$x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2 + 2x + 2)$

したがって、$B = x^2 + 2x + 2$

3. 最終的な答え

(1) $A = 2x^3 - 5x^2 - 7x + 2$

(2) $B = x^2 + 2x + 2$