整式 $P(x)$ を $2x^2 - 3x - 1$ で割ったときの商が $x^2 + x + 2$ で、余りが $-x + 3$ であるとき、$P(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $2x^2 - 3x - 1$ で割ったときの商が $x^2 + x + 2$ で、余りが $-x + 3$ であるとき、$P(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

割り算の基本の関係式を利用します。

割られる数 = (割る数) × (商) + (余り) です。

この問題の場合、$P(x)$ が割られる数、$2x^2 - 3x - 1$ が割る数、$x^2 + x + 2$ が商、$-x + 3$ が余りとなります。

したがって、

$P(x) = (2x^2 - 3x - 1)(x^2 + x + 2) + (-x + 3)$

を展開して整理します。

$P(x) = 2x^4 + 2x^3 + 4x^2 - 3x^3 - 3x^2 - 6x - x^2 - x - 2 - x + 3$

$P(x) = 2x^4 + (2-3)x^3 + (4-3-1)x^2 + (-6-1-1)x + (-2+3)$

$P(x) = 2x^4 - x^3 + 0x^2 - 8x + 1$

$P(x) = 2x^4 - x^3 - 8x + 1$

3. 最終的な答え

$P(x) = 2x^4 - x^3 - 8x + 1$