数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ (n=1, 2, 3...) と定義されています。この数列の一般項が $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ で表される理由を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ (n=1, 2, 3...) と定義されています。この数列の一般項が $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ で表される理由を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ は、特性方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を持ちます。この特性方程式の解は $x = 2, 3$ です。特性方程式が異なる2つの解 $\alpha, \beta$ を持つ場合、数列の一般項は $a_n = A\alpha^n + B\beta^n$ の形で表されます。ここで、$A$ と $B$ は定数です。

今回の場合は、$\alpha = 2$, $\beta = 3$ なので、$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ となります。

$A$ と $B$ の値を決めるために、$a_1 = 1$ と $a_2 = 5$ を代入します。

$a_1 = A \cdot 2^1 + B \cdot 3^1 = 2A + 3B = 1$

$a_2 = A \cdot 2^2 + B \cdot 3^2 = 4A + 9B = 5$

この連立方程式を解きます。

$2A + 3B = 1$ より $2A = 1 - 3B$

$4A + 9B = 5$ に代入すると、$2(1 - 3B) + 9B = 5$

$2 - 6B + 9B = 5$

$3B = 3$

$B = 1$

$2A + 3B = 1$ に $B = 1$ を代入すると、$2A + 3 = 1$

$2A = -2$

$A = -1$

したがって、$A = -1$, $B = 1$ なので、数列の一般項は $a_n = -2^n + 3^n$ となります。

問題では一般項が $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表される理由を尋ねているので、上記の特性方程式の解を用いた一般項の導出を説明すれば良いでしょう。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ の特性方程式が $x^2 - 5x + 6 = 0$ であり、その解が $x = 2, 3$ と異なる2つの解を持つため、数列の一般項は $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表されます。