ベクトルと行列の演算について、以下の問題を解く。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (5) $3(A-2B) - (3A-2B+C)$ ただし $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

ベクトルと行列の演算について、以下の問題を解く。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(5) $3(A-2B) - (3A-2B+C)$ ただし $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列の足し算は、対応する要素同士を足し合わせることで行う。ただし、行列のサイズが異なると足し算はできない。この場合、左側の行列は2行3列、右側の行列は3行2列なので、足し算は定義されない。したがって、この問題は解なしである。

(2) 行列とベクトルの積を計算する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*1 + 0*(-1) + (-2)*2 \\ 2*1 + 3*(-1) + 1*2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 - 4 \\ 2 - 3 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 行列とベクトルの積を計算する。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

この計算は、左側の行列が2行2列、右側の行列は3行1列なので、計算はできない。したがって、この問題は解なしである。

(4) 単位行列とベクトルの積を計算する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*3 + 0*(-2) + 0*1 \\ 0*3 + 1*(-2) + 0*1 \\ 0*3 + 0*(-2) + 1*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(5) 行列の演算を行う。

まず、$A-2B$ を計算する。

$A-2B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 6 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 \\ -1 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 3 \end{pmatrix}$

次に、$3(A-2B)$ を計算する。

$3(A-2B) = 3\begin{pmatrix} 1 & -2 & -5 \\ -1 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -15 \\ -3 & 12 & -12 \\ -6 & -12 & 9 \end{pmatrix}$

次に、$3A-2B+C$ を計算する。

$3A-2B+C = 3\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 \\ 3 & 6 & 6 \\ 0 & -6 & 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 6 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & -8 \\ 2 & 8 & 1 \\ 0 & -9 & 10 \end{pmatrix}$

最後に、$3(A-2B) - (3A-2B+C)$ を計算する。

$3(A-2B) - (3A-2B+C) = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -15 \\ -3 & 12 & -12 \\ -6 & -12 & 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & -1 & -8 \\ 2 & 8 & 1 \\ 0 & -9 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -5 & -7 \\ -5 & 4 & -13 \\ -6 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 解なし

(4) $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} -2 & -5 & -7 \\ -5 & 4 & -13 \\ -6 & -3 & -1 \end{pmatrix}$