与えられた式を展開する。

承知いたしました。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

(1) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

(2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$

(3) $(a-b+c)^2(a+b-c)^2$

(4) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

(5) $(a-1)^3(a^2+a+1)^3$

(6) $(x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$

1. 問題の内容

与えられた式を展開する。

2. 解き方の手順

(1) $(x-y)^2(x+y)^2(x^2+y^2)^2$

まず、$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ であることを利用します。

よって、

$(x-y)^2(x+y)^2 = [(x-y)(x+y)]^2 = (x^2-y^2)^2$

$(x^2-y^2)^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4$

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^2+y^2)^2 = (x^4 - 2x^2y^2 + y^4)(x^4+2x^2y^2+y^4) = (x^4 + y^4 - 2x^2y^2)(x^4 + y^4 + 2x^2y^2) = (x^4+y^4)^2 - (2x^2y^2)^2$

$(x^4+y^4)^2 - (2x^2y^2)^2 = x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - 4x^4y^4 = x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(2) $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

$(x-2)(x-4) = x^2 - 6x + 8$

$(x^2-1)(x^2-6x+8) = x^4 - 6x^3 + 8x^2 - x^2 + 6x - 8 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(3) $(a-b+c)^2(a+b-c)^2$

$[(a-(b-c))(a+(b-c))]^2 = (a^2 - (b-c)^2)^2 = (a^2 - (b^2 - 2bc + c^2))^2 = (a^2 - b^2 + 2bc - c^2)^2$

$(a^2 - b^2 - c^2 + 2bc)^2 = (a^2 - (b^2+c^2-2bc))^2 = (a^2 - (b-c)^2)^2$

$=(a^2)^2 - 2a^2(b-c)^2 + (b-c)^4 = a^4 - 2a^2(b^2 - 2bc + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + 4a^2bc - 2a^2c^2 + (b^4 + 4b^2c^2 + c^4 - 4b^3c - 4bc^3 + 2b^2c^2)$

$= a^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + 4a^2bc + b^4 + c^4 + 6b^2c^2 - 4b^3c - 4bc^3$

$=a^4+b^4+c^4 -2a^2b^2 -2a^2c^2 +6b^2c^2 +4a^2bc -4b^3c -4bc^3$

(4) $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$= a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c + a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc + a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2$

$= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(5) $(a-1)^3(a^2+a+1)^3$

$((a-1)(a^2+a+1))^3 = (a^3 - 1)^3 = (a^3)^3 - 3(a^3)^2(1) + 3(a^3)(1)^2 - 1^3 = a^9 - 3a^6 + 3a^3 - 1$

(6) $(x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x^2-1)(x^4+x^2+1) = x^6 + x^4 + x^2 - x^4 - x^2 - 1 = x^6 - 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^8 - 2x^4y^4 + y^8$

(2) $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8$

(3) $a^4+b^4+c^4 -2a^2b^2 -2a^2c^2 +6b^2c^2 +4a^2bc -4b^3c -4bc^3$

(4) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

(5) $a^9 - 3a^6 + 3a^3 - 1$

(6) $x^6 - 1$