与えられた条件を満たす放物線を求めます。 (1) 頂点が点$(-2, 4)$で、点$(-4, 2)$を通る。 (2) 軸が$x = 2$で、2点$(-1, 5)$, $(1, -11)$を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線を求めます。

(1) 頂点が点$(-2, 4)$で、点$(-4, 2)$を通る。

(2) 軸が$x = 2$で、2点$(-1, 5)$, $(1, -11)$を通る。

2. 解き方の手順

(1)

放物線の頂点が$(-2, 4)$なので、放物線の方程式は

$y = a(x + 2)^2 + 4$

と表せます。この放物線が点$(-4, 2)$を通るので、

$2 = a(-4 + 2)^2 + 4$

$2 = 4a + 4$

$4a = -2$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、放物線の方程式は

$y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 4$

展開すると

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 4$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2 + 4$

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2)

放物線の軸が$x = 2$なので、放物線の方程式は

$y = a(x - 2)^2 + q$

と表せます。この放物線が点$(-1, 5)$と$(1, -11)$を通るので、

$5 = a(-1 - 2)^2 + q$

$-11 = a(1 - 2)^2 + q$

これらを整理すると

$5 = 9a + q$

$-11 = a + q$

上の式から下の式を引くと

$16 = 8a$

$a = 2$

これを$-11 = a + q$に代入すると

$-11 = 2 + q$

$q = -13$

したがって、放物線の方程式は

$y = 2(x - 2)^2 - 13$

展開すると

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 13$

$y = 2x^2 - 8x + 8 - 13$

$y = 2x^2 - 8x - 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) $y = 2x^2 - 8x - 5$