与えられた漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ および初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 5$ を持つ数列 $\{a_n\}$ の一般項が、$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表される理由を説明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ および初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 5$ を持つ数列 $\{a_n\}$ の一般項が、$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表される理由を説明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式の特性方程式を立て、その解を求めます。

漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ に対して、特性方程式は

$x^2 = 5x - 6$

となります。これは

$x^2 - 5x + 6 = 0$

と変形できます。

(2) 特性方程式を解きます。

$x^2 - 5x + 6 = 0$ は因数分解できて、

$(x - 2)(x - 3) = 0$

となるため、$x = 2, 3$ が解となります。

(3) 一般項を特性方程式の解を用いて表します。

特性方程式が異なる2つの解 $\alpha$、$\beta$ を持つとき、漸化式の一般項は $a_n = A \alpha^n + B \beta^n$ と表せます。

今回の特性方程式の解は $x = 2, 3$ であるため、一般項は $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表されます。

(4) 初期条件を用いて A と B の値を決定します。

$a_1 = 1$ より、$A \cdot 2^1 + B \cdot 3^1 = 1$ なので、

$2A + 3B = 1$

$a_2 = 5$ より、$A \cdot 2^2 + B \cdot 3^2 = 5$ なので、

$4A + 9B = 5$

この2つの連立方程式を解きます。

$2A + 3B = 1$ を2倍すると、$4A + 6B = 2$ となります。

$4A + 9B = 5$ から $4A + 6B = 2$ を引くと、$3B = 3$ となるので、$B = 1$。

$2A + 3(1) = 1$ より、$2A = -2$ なので、$A = -1$。

したがって、$a_n = -1 \cdot 2^n + 1 \cdot 3^n$ となります。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$の一般項は $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表され、これは特性方程式の解が2と3であることに由来します。初期条件から $A = -1$, $B = 1$ が求まり、一般項は $a_n = -2^n + 3^n$ となります。