行列 $A = \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ が可換であるかを判断せよ。

## 課題 4

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ が可換であるかを判断せよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ と $B$ が可換であるとは、$AB = BA$ が成立することです。

まず、$AB$ を計算します。

$AB = \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

次に、$BA$ を計算します。

$BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$AB$ と $BA$ を比較します。

3. 最終的な答え

$AB = BA$ であるため、行列 $A$ と $B$ は可換である。

## 課題 5

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ のうち、積が定義できる行列のペアを見つけ出し、その積を計算する。

2. 解き方の手順

行列の積が定義できる条件は、左側の行列の列数と右側の行列の行数が一致することです。

与えられた行列のサイズは次の通りです。

$A: 3 \times 4$, $B: 4 \times 2$, $C: 1 \times 4$, $D: 2 \times 3$, $I: 3 \times 3$

積が定義できるペアは次の通りです。

* $AB$: $(3 \times 4)(4 \times 2) = 3 \times 2$

* $AD$: $(3 \times 4)(2 \times 3)$ (積は定義できない)

* $AI$: $(3 \times 4)(3 \times 3)$ (積は定義できない)

* $BA$: $(4 \times 2)(3 \times 4)$ (積は定義できない)

* $BC$: $(4 \times 2)(1 \times 4)$ (積は定義できない)

* $BD$: $(4 \times 2)(2 \times 3) = 4 \times 3$

* $BI$: $(4 \times 2)(3 \times 3)$ (積は定義できない)

* $CA$: $(1 \times 4)(3 \times 4)$ (積は定義できない)

* $CB$: $(1 \times 4)(4 \times 2) = 1 \times 2$

* $CD$: $(1 \times 4)(2 \times 3)$ (積は定義できない)

* $CI$: $(1 \times 4)(3 \times 3)$ (積は定義できない)

* $DA$: $(2 \times 3)(3 \times 4) = 2 \times 4$

* $DB$: $(2 \times 3)(4 \times 2)$ (積は定義できない)

* $DC$: $(2 \times 3)(1 \times 4)$ (積は定義できない)

* $DI$: $(2 \times 3)(3 \times 3)$ (積は定義できない)

* $IA$: $(3 \times 3)(3 \times 4) = 3 \times 4$

* $IB$: $(3 \times 3)(4 \times 2)$ (積は定義できない)

* $IC$: $(3 \times 3)(1 \times 4)$ (積は定義できない)

* $ID$: $(3 \times 3)(2 \times 3)$ (積は定義できない)

* $II$: $(3 \times 3)(3 \times 3) = 3 \times 3$

計算が必要な積は、$AB$, $BD$, $CB$, $DA$, $IA$, $II$ です。

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \\ 5 & 4 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 41 & 22 \\ 28 & 20 \\ 44 & 26 \end{bmatrix}$

$BD = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \\ 5 & 4 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 7 & 11 \\ 14 & 23 \\ 9 & 14 \end{bmatrix}$

$CB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \\ 5 & 4 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & 26 \end{bmatrix}$

$DA = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 12 & 13 & 11 \\ 5 & 8 & 8 & 6 \end{bmatrix}$

$IA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

$II = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

積が定義できるペアとその積は以下の通りです。

* $AB = \begin{bmatrix} 41 & 22 \\ 28 & 20 \\ 44 & 26 \end{bmatrix}$

* $BD = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 7 & 11 \\ 14 & 23 \\ 9 & 14 \end{bmatrix}$

* $CB = \begin{bmatrix} 30 & 26 \end{bmatrix}$

* $DA = \begin{bmatrix} 8 & 12 & 13 & 11 \\ 5 & 8 & 8 & 6 \end{bmatrix}$

* $IA = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

* $II = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

## 課題 6

1. 問題の内容

$(i, j)$ 成分が $i + j$ である $2 \times 4$ 行列を作成する。

2. 解き方の手順

$2 \times 4$ 行列の要素は、以下のようになります。

$\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}

\end{bmatrix}$

ここで、$a_{ij} = i + j$ なので、各要素を計算します。

* $a_{11} = 1 + 1 = 2$

* $a_{12} = 1 + 2 = 3$

* $a_{13} = 1 + 3 = 4$

* $a_{14} = 1 + 4 = 5$

* $a_{21} = 2 + 1 = 3$

* $a_{22} = 2 + 2 = 4$

* $a_{23} = 2 + 3 = 5$

* $a_{24} = 2 + 4 = 6$

3. 最終的な答え

求める行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

2 & 3 & 4 & 5 \\

3 & 4 & 5 & 6

\end{bmatrix}$