与えられた問題は、特性方程式の解が $x=2$ と $x=3$ であるとき、なぜ数列の一般項が $A_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ という形で表されるのか、という問いです。ここで、$A$ と $B$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、特性方程式の解が $x=2$ と $x=3$ であるとき、なぜ数列の一般項が $A_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ という形で表されるのか、という問いです。ここで、$A$ と $B$ は定数です。

2. 解き方の手順

これは、線形漸化式の一般的な解法に基づいています。

まず、2階線形同次漸化式を考えます。

$a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0$

ここで、$p$ と $q$ は定数です。

この漸化式の特性方程式は次のようになります。

$x^2 + p x + q = 0$

問題文では、この特性方程式の解が $x = 2, 3$ であると与えられています。

つまり、特性方程式は $(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6 = 0$ と書けます。

したがって、漸化式は次のようになります。

$a_{n+2} - 5 a_{n+1} + 6 a_n = 0$

特性方程式の解が異なる2つの実数解 $x_1$ と $x_2$ を持つ場合、漸化式の一般解は次の形で表されます。

$a_n = A x_1^n + B x_2^n$

ここで、$A$ と $B$ は初期条件によって決定される定数です。

今回の問題では、$x_1 = 2$ と $x_2 = 3$ なので、一般解は次のようになります。

$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$

これが、特性方程式の解が $x=2$ と $x=3$ のときに、一般項が $A_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ となる理由です。

3. 最終的な答え

特性方程式の解が2と3のとき、対応する数列の一般項は、それぞれの解を$n$乗したものの定数倍の和で表されるからです。つまり、$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$となります。