数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$) と定義されています。この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めることが問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$) と定義されています。この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めることが問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ の特性方程式を求めます。特性方程式は

$x^2 = 5x - 6$

と表されます。これを解くと、

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3) = 0$

$x = 2, 3$

となります。したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ と表されます。ここで、$A$ と $B$ は定数です。

初期条件 $a_1 = 1$ と $a_2 = 5$ を用いて、$A$ と $B$ の値を求めます。

$a_1 = 1$ より、 $A \cdot 2^1 + B \cdot 3^1 = 1$ すなわち $2A + 3B = 1$。

$a_2 = 5$ より、 $A \cdot 2^2 + B \cdot 3^2 = 5$ すなわち $4A + 9B = 5$。

連立方程式

\begin{cases}

2A + 3B = 1 \\

4A + 9B = 5

\end{cases}

を解きます。1つ目の式を2倍すると $4A + 6B = 2$ となります。

2つ目の式からこの式を引くと、$3B = 3$ より $B = 1$。

$2A + 3B = 1$ に $B = 1$ を代入すると、$2A + 3 = 1$ より $2A = -2$ であり、$A = -1$。

したがって、$a_n = -1 \cdot 2^n + 1 \cdot 3^n = 3^n - 2^n$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n - 2^n$