$(x - \frac{2}{x})^8$ の展開式における定数項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x - \frac{2}{x})^8$ の展開式における定数項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を使って展開式を考えます。二項定理より、

$(x - \frac{2}{x})^8 = \sum_{k=0}^{8} {}_8 C_k x^{8-k} (-\frac{2}{x})^k = \sum_{k=0}^{8} {}_8 C_k x^{8-k} (-2)^k x^{-k} = \sum_{k=0}^{8} {}_8 C_k (-2)^k x^{8-2k}$

定数項は、$x$ の指数が $0$ になる項なので、$8 - 2k = 0$ を満たす $k$ を探します。

$8 - 2k = 0$ より、$2k = 8$ なので、$k = 4$ です。

よって、定数項は

${}_8 C_4 (-2)^4 x^{8-2(4)} = {}_8 C_4 (-2)^4 x^0 = {}_8 C_4 (-2)^4$

${}_8 C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

$(-2)^4 = 16$

したがって、定数項は $70 \times 16 = 1120$ です。

3. 最終的な答え

1120