2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の2つの条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求める。 (1) 1つの解が他の解の4倍である。 (2) 2つの解の差が1である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の2つの条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求める。

(1) 1つの解が他の解の4倍である。

(2) 2つの解の差が1である。

2. 解き方の手順

(1) 2つの解を $\alpha$, $4\alpha$ とおく。解と係数の関係より、

$$\alpha + 4\alpha = -5$$

$$5\alpha = -5$$

$$\alpha = -1$$

また、

$$\alpha \cdot 4\alpha = m$$

$$4\alpha^2 = m$$

$\alpha = -1$ を代入して、

$$4(-1)^2 = m$$

$$4 = m$$

したがって、$m=4$ であり、2つの解は $\alpha = -1$ と $4\alpha = -4$ である。

(2) 2つの解を $\alpha$, $\alpha+1$ とおく。解と係数の関係より、

$$\alpha + (\alpha+1) = -5$$

$$2\alpha + 1 = -5$$

$$2\alpha = -6$$

$$\alpha = -3$$

また、

$$\alpha(\alpha+1) = m$$

$\alpha = -3$ を代入して、

$$(-3)(-3+1) = m$$

$$(-3)(-2) = m$$

$$6 = m$$

したがって、$m=6$ であり、2つの解は $\alpha = -3$ と $\alpha+1 = -2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$、2つの解は $-1, -4$

(2) $m = 6$、2つの解は $-3, -2$