画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。 (1) $9^{\frac{3}{2}}-3^{-2}+27^{\frac{2}{3}}-6^0$ を簡単にせよ。 (2) 正の整数 815013723 を 4 で割った余りを求めよ。 (3) $\sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{27}$ を簡単にせよ。 (4) $\frac{mx+my}{x^2-2xy+y^2} \times \frac{x^2-2xy+y^2}{mx^2+2mxy+my^2}$ を計算せよ。 (5) $\frac{2x^2-x-1}{2x^2-5x+2} \div \frac{x^2-1}{4x^2+x-14}$ を計算せよ。 (6) $3^{100}$を13で割ったときの余りを求めよ。 (7) $1=10^x$のとき、$x$を求めよ。 (8) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題を解きます。

(1) $9^{\frac{3}{2}}-3^{-2}+27^{\frac{2}{3}}-6^0$ を簡単にせよ。

(2) 正の整数 815013723 を 4 で割った余りを求めよ。

(3) $\sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{27}$ を簡単にせよ。

(4) $\frac{mx+my}{x^2-2xy+y^2} \times \frac{x^2-2xy+y^2}{mx^2+2mxy+my^2}$ を計算せよ。

(5) $\frac{2x^2-x-1}{2x^2-5x+2} \div \frac{x^2-1}{4x^2+x-14}$ を計算せよ。

(6) $3^{100}$を13で割ったときの余りを求めよ。

(7) $1=10^x$のとき、$x$を求めよ。

(8) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1) 指数法則を用いて計算します。

$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

$6^0 = 1$

よって、$27-\frac{1}{9}+9-1 = 35 - \frac{1}{9} = \frac{315-1}{9} = \frac{314}{9}$

選択肢に無いので、元の式を確認した所、$9^{\frac{1}{2}}-3^{-2}+27^{\frac{2}{3}}-6^0$と解釈すると、

$9^{\frac{1}{2}} = 3$

$3^{-2} = \frac{1}{9}$

$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

$6^0 = 1$

よって、$3-\frac{1}{9}+9-1 = 11 - \frac{1}{9} = \frac{99-1}{9} = \frac{98}{9}$

それでも選択肢に無いので、最初の式は$9^{\frac{1}{2}}-3^{2}+27^{\frac{2}{3}}-6^0$と解釈することにします。

$9^{\frac{1}{2}} = 3$

$3^2 = 9$

$27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

$6^0 = 1$

よって、$3-9+9-1 = 2$

(2) 整数を4で割った余りは、下2桁を4で割った余りと等しい。723の下2桁は23なので、23を4で割ると5余り3。

(3) $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (5-4+3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

(4) $\frac{m(x+y)}{(x-y)^2} \times \frac{(x-y)^2}{m(x^2+2xy+y^2)} = \frac{m(x+y)}{(x-y)^2} \times \frac{(x-y)^2}{m(x+y)^2} = \frac{1}{x+y}$

(5) $\frac{2x^2-x-1}{2x^2-5x+2} \div \frac{x^2-1}{4x^2+x-14} = \frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)(x-2)} \times \frac{(4x-7)(x+2)}{(x-1)(x+1)}= \frac{(2x+1)}{(2x-1)(x-2)} \times \frac{(4x-7)(x+2)}{(x+1)} = \frac{(2x+1)(4x-7)(x+2)}{(2x-1)(x-2)(x+1)}$

(6) $3^1 = 3 \pmod{13}$

$3^2 = 9 \pmod{13}$

$3^3 = 27 = 1 \pmod{13}$

$3^{100} = (3^3)^{33} \times 3^1 = 1^{33} \times 3 = 3 \pmod{13}$

(7) $1 = 10^x$

$10^0 = 1$ なので、$x=0$

(8) $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2} = \frac{5+2\sqrt{6}}{1} = 5+2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) $4\sqrt{3}$

(4) $\frac{1}{x+y}$

(5) $\frac{(2x+1)(4x-7)(x+2)}{(2x-1)(x-2)(x+1)}$

(6) 3

(7) 0

(8) $5+2\sqrt{6}$