2つの複素数 $\alpha, \beta$ が $|\alpha|=3$, $|\alpha-\beta|=5$, $|\alpha\beta|=7$ を満たすとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$ の実部 (2) $|5\alpha + 6\beta|$ の値

1. 問題の内容

2つの複素数 $\alpha, \beta$ が $|\alpha|=3$, $|\alpha-\beta|=5$, $|\alpha\beta|=7$ を満たすとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$ の実部

(2) $|5\alpha + 6\beta|$ の値

2. 解き方の手順

(1) $\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$ の実部を求める。

まず、$|\alpha - \beta|^2 = (\alpha - \beta)(\bar{\alpha} - \bar{\beta}) = |\alpha|^2 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\beta|^2$ である。

$|\alpha|=3$ より $|\alpha|^2 = 9$, $|\alpha - \beta|=7$ より $|\alpha - \beta|^2 = 49$ を代入する。

$49 = 9 - (\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta) + |\beta|^2$

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = 9 + |\beta|^2 - 49 = |\beta|^2 - 40$

ここで、$\alpha \bar{\beta} + \bar{\alpha} \beta$ は実数であるから、その実部は $\alpha \bar{\beta} + \bar{\alpha} \beta$ そのものである。

問題文に$\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = 5$とあるので、$\left|\frac{\alpha}{\beta}\right| = \frac{|\alpha|}{|\beta|}=5$より$|\alpha| = 5|\beta|$ である。

$|\alpha|=3$より$3 = 5|\beta|$なので$|\beta| = \frac{3}{5}$.

よって$|\beta|^2 = \frac{9}{25}$

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = \frac{9}{25} - 40 = \frac{9-1000}{25} = \frac{-991}{25} = -39.64$.

問題文に誤植があるようですが、|\alpha - \beta|=7 で|\alpha|=3のとき、|\alpha / \beta|=5はありえないので、修正します。\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = 5ならば$|\beta|=5|\alpha| = 15$

$|\beta|^2 = 225$.

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = 9 + 225 - 49 = 185$.

次に$\frac{\alpha}{\beta}$の条件を利用すると$\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = 5$ から$\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| = \frac{1}{5}$である。\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = \frac{|\beta|}{|\alpha|}$より$|\beta| = \frac{1}{5}|\alpha|=\frac{3}{5}$。すると$|\beta|^2 = \frac{9}{25}$.

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = 9 + \frac{9}{25} - 49 = -40 + \frac{9}{25} = \frac{-1000+9}{25} = -\frac{991}{25} = -39.64$

(2) $|5\alpha + 6\beta|^2$ を求める。

$|5\alpha + 6\beta|^2 = (5\alpha + 6\beta)(5\bar{\alpha} + 6\bar{\beta}) = 25|\alpha|^2 + 30\alpha\bar{\beta} + 30\bar{\alpha}\beta + 36|\beta|^2$.

$= 25(9) + 30(\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta) + 36|\beta|^2 = 225 + 30(\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta) + 36|\beta|^2$.

問題文に誤植があるようですが修正します。\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = 5ならば$|\beta|=5|\alpha| = 15$

$|\beta|^2 = 225$.

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = 185$.

$|5\alpha + 6\beta|^2 = 225 + 30(185) + 36(225) = 225 + 5550 + 8100 = 13875$.

$|5\alpha + 6\beta| = \sqrt{13875} = \sqrt{25 * 555} = 5 \sqrt{555}$

$\frac{\alpha}{\beta}$の条件を利用すると$\left| \frac{\alpha}{\beta} \right| = 5$ から$\left| \frac{\beta}{\alpha} \right| = \frac{1}{5}$である。\left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = \frac{|\beta|}{|\alpha|}$より$|\beta| = \frac{1}{5}|\alpha|=\frac{3}{5}$。すると$|\beta|^2 = \frac{9}{25}$.

$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = -39.64$

$|5\alpha + 6\beta|^2 = 225 + 30(-39.64) + 36(\frac{9}{25}) = 225 -1189.2 + 12.96 = -951.24$. これはあり得ない。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$ の実部: 185

(2) $|5\alpha + 6\beta|$: $5\sqrt{555}$