$y = a(x - p)^2 + q$ ここで、頂点の座標は$(p, q)$なので、$p = -3$, $q = -9$を代入します。 $y = a(x + 3)^2 - 9$

## 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。

(1) 頂点の座標が$(-3, -9)$で、点$(1, 7)$を通る。

(2) 軸が$x = -1$で、2点$(0, 2)$, $(1, -1)$を通る。

(3) 3点$(-1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 6)$を通る。

## 解き方の手順

### (1) 頂点の座標が$(-3, -9)$で、点$(1, 7)$を通る場合

1. 頂点の座標が与えられているので、放物線の方程式を頂点形式で表します。

$y = a(x - p)^2 + q$

ここで、頂点の座標は$(p, q)$なので、$p = -3$, $q = -9$を代入します。

$y = a(x + 3)^2 - 9$

2. 点$(1, 7)$を通ることから、$x = 1$, $y = 7$を上記の方程式に代入し、$a$の値を求めます。

$7 = a(1 + 3)^2 - 9$

$7 = 16a - 9$

$16a = 16$

$a = 1$

3. 求めた$a$の値を頂点形式の式に代入し、放物線の方程式を求めます。

$y = 1(x + 3)^2 - 9$

$y = (x + 3)^2 - 9$

$y = x^2 + 6x + 9 - 9$

$y = x^2 + 6x$

### (2) 軸が$x = -1$で、2点$(0, 2)$, $(1, -1)$を通る場合

1. 軸が$x = -1$なので、放物線の方程式を軸形式で表します。

$y = a(x + 1)^2 + q$

2. 2点$(0, 2)$, $(1, -1)$を通ることから、$x = 0$, $y = 2$と$x = 1$, $y = -1$を上記の方程式に代入し、 $a$と$q$に関する連立方程式を立てます。

$2 = a(0 + 1)^2 + q$

$2 = a + q$ ...(1)

$-1 = a(1 + 1)^2 + q$

$-1 = 4a + q$ ...(2)

3. (2) - (1)より:

$-1 - 2 = 4a + q - (a + q)$

$-3 = 3a$

$a = -1$

4. $a = -1$を(1)に代入し、$q$の値を求めます。

$2 = -1 + q$

$q = 3$

5. 求めた$a$と$q$の値を軸形式の式に代入し、放物線の方程式を求めます。

$y = -1(x + 1)^2 + 3$

$y = -(x + 1)^2 + 3$

$y = -(x^2 + 2x + 1) + 3$

$y = -x^2 - 2x - 1 + 3$

$y = -x^2 - 2x + 2$

### (3) 3点$(-1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 6)$を通る場合

1. 放物線の方程式を一般形$y = ax^2 + bx + c$とおきます。

2. 3点$(-1, 6)$, $(2, 3)$, $(3, 6)$を通ることから、$x$と$y$の値を上記の方程式に代入し、$a$, $b$, $c$に関する連立方程式を立てます。

$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

$6 = a - b + c$ ...(1)

$3 = a(2)^2 + b(2) + c$

$3 = 4a + 2b + c$ ...(2)

$6 = a(3)^2 + b(3) + c$

$6 = 9a + 3b + c$ ...(3)

3. (3) - (2)より:

$6 - 3 = 9a + 3b + c - (4a + 2b + c)$

$3 = 5a + b$ ...(4)

4. (2) - (1)より:

$3 - 6 = 4a + 2b + c - (a - b + c)$

$-3 = 3a + 3b$

$-1 = a + b$ ...(5)

5. (4) - (5)より:

$3 - (-1) = 5a + b - (a + b)$

$4 = 4a$

$a = 1$

6. $a = 1$を(5)に代入し、$b$の値を求めます。

$-1 = 1 + b$

$b = -2$

7. $a = 1$, $b = -2$を(1)に代入し、$c$の値を求めます。

$6 = 1 - (-2) + c$

$6 = 3 + c$

$c = 3$

8. 求めた$a$, $b$, $c$の値を一般形の式に代入し、放物線の方程式を求めます。

$y = 1x^2 - 2x + 3$

$y = x^2 - 2x + 3$

## 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 6x$

(2) $y = -x^2 - 2x + 2$

(3) $y = x^2 - 2x + 3$