与えられた式 $(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$ を展開し、簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$ を展開し、簡単にせよ。

2. 解き方の手順

この式は、$(A+B)(A-B)$ の形をしていることに気づきます。ここで、$A = x^2 + 3$、$B = 2x$ とすると、

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3) = ((x^2 + 3) + 2x)((x^2 + 3) - 2x)$

となります。

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用すると、

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3) = (x^2 + 3)^2 - (2x)^2$

$(x^2 + 3)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(3) + 3^2 = x^4 + 6x^2 + 9$

$(2x)^2 = 4x^2$

したがって、

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3) = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 9$

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^2 + 9$