与えられた等比数列 $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3^2}, \frac{2}{3^3}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3^2}, \frac{2}{3^3}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用います。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

まず、与えられた数列から初項と公比を読み取ります。初項は $a=2$、公比は $r=\frac{1}{3}$ です。

これらの値を等比数列の和の公式に代入します。

$$S_n = \frac{2\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \frac{1}{3}}$$

分母を計算します。

$$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

したがって、

$$S_n = \frac{2\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{2}{3}} = 2\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \cdot \frac{3}{2}$$

約分すると

$$S_n = 3\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$$

3. 最終的な答え

$S_n = 3\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$