問題は、与えられた式を簡略化することです。与えられた式は $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式を簡略化することです。与えられた式は $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、項の順序を並べ替えます。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2$

共通因数でくくります。

$ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2 = ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c)$

さらに変形します。

$ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) = ab(b - a) + bc(c - b) - ca(c - a)$

$= ab(b - a) - bc((b-c)) - ca((c-a))$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

元の式に代入して確認することもできます。例えば、$a=1, b=2, c=3$ のとき、元の式は $1(2^2 - 3^2) + 2(3^2 - 1^2) + 3(1^2 - 2^2) = 1(4-9) + 2(9-1) + 3(1-4) = -5 + 16 - 9 = 2$ となり、$-(1-2)(2-3)(3-1) = -(-1)(-1)(2) = -2$

上記の式の展開に誤りがあったため、再度式を整理すると以下のようになります。

$ab^2 - a^2b + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a$

$= - (a - b) (b - c) (c - a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$