与えられた式 $x^3 + x^2y - x^2 - y$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + x^2y - x^2 - y$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、最初の2項と後の2項に分けて考える。

最初の2項 $x^3 + x^2y$ から $x^2$ をくくり出すと、$x^2(x+y)$ となる。

後の2項 $-x^2 - y$ から $-1$ をくくり出すことを考える。すると、$-x^2 - y = -(x^2 + y)$ となる。

したがって、式は $x^2(x+y) - (x^2+y)$ となる。

残念ながら、$x+y$ と $x^2+y$ に共通因数はないので、別の方法を考える。

$x^3 + x^2y - x^2 - y$ の式を、文字 $y$ について整理すると、

$x^2y - y + x^3 - x^2 = (x^2 - 1)y + x^2(x - 1)$

となる。

さらに、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であるから、

$(x-1)(x+1)y + x^2(x-1) = (x-1)((x+1)y + x^2)$

$= (x-1)(x^2 + (x+1)y)$

$= (x-1)(x^2 + xy + y)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x^2+xy+y)$