放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ (これを式①とします) について、以下の問いに答えます。 (1) 式①の頂点の座標と軸の方程式を求め、グラフを描きます。 (2) 式①を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。 (3) 式①のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動し、さらに $y$ 軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 + 4x + 1$ になりました。このときの $p$ と $q$ の値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ (これを式①とします) について、以下の問いに答えます。

(1) 式①の頂点の座標と軸の方程式を求め、グラフを描きます。

(2) 式①を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。

(3) 式①のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動し、さらに $y$ 軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 + 4x + 1$ になりました。このときの $p$ と $q$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標と軸の方程式を求めるために、式①を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

よって、頂点の座標は $(1, 1)$ であり、軸の方程式は $x = 1$ です。

グラフは頂点が $(1, 1)$ で、軸が $x = 1$ の上に凸の放物線となります。$y$切片は$y = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$ より$(0,2)$を通ります。

(2) 原点に関して対称移動するということは、$(x, y)$ を $(-x, -y)$ に置き換えることになります。式①の $x$ を $-x$, $y$ を $-y$ に置き換えると、

$-y = (-x)^2 - 2(-x) + 2$

$-y = x^2 + 2x + 2$

$y = -x^2 - 2x - 2$

(3) 式①のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、

$y - q = (x - p)^2 - 2(x - p) + 2$

$y = (x - p)^2 - 2(x - p) + 2 + q$

$y = x^2 - 2px + p^2 - 2x + 2p + 2 + q$

$y = x^2 - (2p + 2)x + p^2 + 2p + 2 + q$

さらに $y$ 軸に関して対称移動するということは、$x$ を $-x$ に置き換えることなので、

$y = (-x)^2 - (2p + 2)(-x) + p^2 + 2p + 2 + q$

$y = x^2 + (2p + 2)x + p^2 + 2p + 2 + q$

これが $y = x^2 + 4x + 1$ と一致するので、係数を比較して、

$2p + 2 = 4$

$p^2 + 2p + 2 + q = 1$

一つ目の式から $2p = 2$ となり、$p = 1$ が得られます。

二つ目の式に $p = 1$ を代入すると、

$1^2 + 2(1) + 2 + q = 1$

$1 + 2 + 2 + q = 1$

$5 + q = 1$

$q = -4$

したがって、$p = 1$, $q = -4$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(1, 1)$, 軸の方程式: $x = 1$

(2) $y = -x^2 - 2x - 2$

(3) $p = 1$, $q = -4$