(1) $x^2 \ge 4y(x-y)$が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める。 (2) $\frac{4-7i}{1+2i}$を計算する。

1. 問題の内容

(1) $x^2 \ge 4y(x-y)$が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める。

(2) $\frac{4-7i}{1+2i}$を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

左辺から右辺を引いて、$x^2 - 4y(x-y)$を計算する。

$x^2 - 4y(x-y) = x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2$

$(x-2y)^2 \ge 0$であるから、$x^2 \ge 4y(x-y)$は成り立つ。

等号が成り立つのは、$x-2y = 0$のとき、すなわち、$x=2y$のときである。

(2)

$\frac{4-7i}{1+2i}$を計算するために、分母の共役複素数である$1-2i$を分母と分子にかける。

\begin{align*}

\frac{4-7i}{1+2i} &= \frac{(4-7i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} \\

&= \frac{4 - 8i - 7i + 14i^2}{1 - 4i^2} \\

&= \frac{4 - 15i - 14}{1 + 4} \\

&= \frac{-10 - 15i}{5} \\

&= -2 - 3i

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1)

$x-2y$ , $2y$

(2)

$-2 - 3i$