(1) 整式 $P(x)$ は、$x-2$ で割ると余りが $7$、$x+3$ で割ると余りが $-8$ である。$P(x)$ を $x^2+x-6$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = 0$ を解け。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x)$ は、$x-2$ で割ると余りが $7$、$x+3$ で割ると余りが $-8$ である。$P(x)$ を $x^2+x-6$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$ なので、$P(x)$ を $x^2+x-6$ で割ったときの余りは、一次式 $ax+b$ で表すことができる。

$P(x) = (x^2+x-6)Q(x) + ax + b$ (Q(x)は商)

$P(2) = 2a + b = 7$

$P(-3) = -3a + b = -8$

2つの式を連立方程式として解く。

$2a + b = 7$

$-3a + b = -8$

上の式から下の式を引くと、

$5a = 15$

$a = 3$

$b = 7 - 2a = 7 - 6 = 1$

したがって、余りは $3x+1$ である。

(2)

$x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = 0$ を解く。

まず、$x=1$ を代入すると、

$1 - 2 + 5 - 4 = 0$

したがって、$x=1$ は解の一つである。

$x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ を $x-1$ で割ると、

$(x-1)(x^2 -x + 4) = 0$

$x^2 -x + 4 = 0$ を解く。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{15}i}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x+1$

(2) $x = 1, \frac{1 + \sqrt{15}i}{2}, \frac{1 - \sqrt{15}i}{2}$