(1) $(3x+5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)$ を展開する問題です。 (2) $(x+3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $(3x+5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)$ を展開する問題です。

(2) $(x+3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(3x+5y)(9x^2 - 15xy + 25y^2)$ を展開します。

この式は $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用できます。$a=3x$, $b=5y$ とすると、与式は $(3x)^3 + (5y)^3$ となります。

$(3x)^3 = 27x^3$

$(5y)^3 = 125y^3$

したがって、$27x^3 + 125y^3$ となります。

(2) $(x+3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の係数を求めます。

二項定理より、$(x+3y)^6$ の展開式における一般項は

$\binom{6}{k} x^{6-k} (3y)^k$ で表されます。

$x^3y^3$ の項を求めるので、$k=3$ とすると、

$\binom{6}{3} x^{6-3} (3y)^3 = \binom{6}{3} x^3 (3y)^3 = \binom{6}{3} x^3 3^3 y^3$

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$3^3 = 27$

したがって、係数は $20 \times 27 = 540$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $27x^3 + 125y^3$

(2) $540$