2次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (2) $\alpha^3 \beta + \alpha \beta^3$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(2) $\alpha^3 \beta + \alpha \beta^3$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 7$

(1) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{3}{7}$

(2) $\alpha^3 \beta + \alpha \beta^3 = \alpha \beta (\alpha^2 + \beta^2)$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = 3^2 - 2 \cdot 7 = 9 - 14 = -5$

$\alpha^3 \beta + \alpha \beta^3 = \alpha \beta (\alpha^2 + \beta^2) = 7 \cdot (-5) = -35$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3 \alpha \beta (\alpha + \beta) = 3^3 - 3 \cdot 7 \cdot 3 = 27 - 63 = -36$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{7}$

(2) $-35$

(3) $-36$