## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像に記載されている3つの問題を解きます。

1. $\frac{mx+my}{x^2-2xy+y^2} \times \frac{2x-2y}{mx^2+2mxy+my^2}$ を計算せよ。

2. $\frac{2x^2-x-1}{2x^2+5x+2} \div \frac{x^2-1}{4x^2+x-14}$ を計算せよ。

3. $3^{100}$ を13で割ったときの余りを求めよ。

4. $1 = 10^x$を満たす$x$の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題1

1. 各式を因数分解します。

* $mx+my = m(x+y)$

* $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$

* $2x-2y = 2(x-y)$

* $mx^2+2mxy+my^2 = m(x^2+2xy+y^2) = m(x+y)^2$

2. 与式に代入します。

$\frac{m(x+y)}{(x-y)^2} \times \frac{2(x-y)}{m(x+y)^2}$

3. 約分します。

$\frac{m(x+y)}{(x-y)(x-y)} \times \frac{2(x-y)}{m(x+y)(x+y)} = \frac{2}{(x-y)(x+y)}$

### 問題2

1. 各式を因数分解します。

* $2x^2-x-1 = (2x+1)(x-1)$

* $2x^2+5x+2 = (2x+1)(x+2)$

* $x^2-1 = (x-1)(x+1)$

* $4x^2+x-14 = (4x-7)(x+2)$

2. 割り算を掛け算に変換し、与式に代入します。

$\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x+1)(x+2)} \times \frac{(4x-7)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$

3. 約分します。

$\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x+1)(x+2)} \times \frac{(4x-7)(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x-7}{x+1}$

### 問題3

1. $3^1 = 3$ を 13 で割った余りは 3

2. $3^2 = 9$ を 13 で割った余りは 9

3. $3^3 = 27$ を 13 で割った余りは 1

4. $3^4 = 81$ を 13 で割った余りは 3

5. $3^5 = 243$ を 13 で割った余りは 9

6. $3^6 = 729$ を 13 で割った余りは 1

$3^{100} = (3^3)^{33} \times 3^1$ より、$3^{100}$ を13で割った余りは、$1^{33} \times 3 = 3$ となります。

別の解き方:

$3^{100} = (3^6)^{16} \times 3^4$ より、$3^{100}$ を13で割った余りは、$1^{16} \times 3^4 = 81$ を 13 で割った余りなので 3 となります。

### 問題4

$1 = 10^x$ より、$x = 0$ となります。なぜなら、$10^0 = 1$ であるからです。

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3. 最終的な答え

1. $\frac{2}{(x+y)(x-y)}$

2. $\frac{4x-7}{x+1}$

3. 3

4. 0