数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, および漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）で定義されています。この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, および漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ （$n = 1, 2, 3, \dots$）で定義されています。この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ の特性方程式を求めます。特性方程式は、

$x^2 = 5x - 6$

となります。これを整理すると、

$x^2 - 5x + 6 = 0$

となります。この2次方程式を解くと、

$(x - 2)(x - 3) = 0$

より、$x = 2, 3$ となります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、定数 $A, B$ を用いて

$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$

と表されます。

初期条件 $a_1 = 1$ と $a_2 = 5$ を用いて、$A$ と $B$ を求めます。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1 = A \cdot 2^1 + B \cdot 3^1 = 2A + 3B$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 5 = A \cdot 2^2 + B \cdot 3^2 = 4A + 9B$

これらの連立方程式を解きます。

$2A + 3B = 1$

$4A + 9B = 5$

最初の式を2倍すると $4A + 6B = 2$ となり、2番目の式からこれを引くと $3B = 3$、よって $B = 1$ となります。

$2A + 3(1) = 1$ より $2A = -2$、よって $A = -1$ となります。

したがって、一般項は

$a_n = -1 \cdot 2^n + 1 \cdot 3^n = 3^n - 2^n$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3^n - 2^n$