$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $4(a^3 + b^3) \geq (a+b)^3$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $4(a^3 + b^3) \geq (a+b)^3$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の右辺を展開します。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

したがって、$4(a^3 + b^3) \geq (a+b)^3$ は次のようになります。

$4a^3 + 4b^3 \geq a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

これを整理すると、

$3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3 \geq 0$

両辺を3で割ると、

$a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 \geq 0$

左辺を因数分解します。

$a^3 - a^2b - ab^2 + b^3 = a^2(a-b) - b^2(a-b) = (a^2 - b^2)(a-b) = (a-b)(a+b)(a-b) = (a-b)^2 (a+b)$

したがって、不等式は

$(a-b)^2 (a+b) \geq 0$

$a>0$ かつ $b>0$ より $a+b>0$ であり、$(a-b)^2 \geq 0$ なので、不等式 $(a-b)^2(a+b) \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは $(a-b)^2 = 0$ のとき、つまり $a-b = 0$ のときなので、$a = b$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $4(a^3 + b^3) \geq (a+b)^3$ は証明された。

等号が成り立つのは $a = b$ のとき。