与えられた数式 $(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2})$ を計算し、その値を求める。

1. 問題の内容

与えられた数式 $(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2})$ を計算し、その値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ をまとめて考える。

すると、与式は $(\sqrt{5} + (\sqrt{3} + \sqrt{2}))(\sqrt{5} - (\sqrt{3} + \sqrt{2}))$ と変形できる。

これは、$a = \sqrt{5}$ 、$b = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ とおくと、$(a + b)(a - b)$ という形をしている。

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ であるから、

$(\sqrt{5} + (\sqrt{3} + \sqrt{2}))(\sqrt{5} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ となる。

$(\sqrt{5})^2 = 5$ である。

次に、$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ を計算する。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$ である。

したがって、与式は $5 - (5 + 2\sqrt{6}) = 5 - 5 - 2\sqrt{6} = -2\sqrt{6}$ となる。

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{6}$