$P(x) = x^4 + (m-1)x^3 + 5x^2 + (m-3)x + n$ と $Q(x) = x^2 - x + 2$ が与えられている。$P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 2次方程式 $Q(x) = 0$ の解を求めよ。 (2) $n$ を $m$ を用いて表せ。また、$P(x)$ を $Q(x)$ で割ったときの商を $R(x) = x^2 + mx + m + C$ とするとき、$C$ を求めよ。 (3) 方程式 $R(x) = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、$m$ の取りうる値の範囲を求めよ。また、2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を求めよ。$\alpha\beta(\alpha+\beta) = -10$ のとき、$m$ の値を求め、方程式 $R(x) = 0$ の虚数解を求めよ。 (4) 方程式 $P(x) = 0$ の解について考える。異なる解が全部で3個、2個、4個になる時の$m$の値と虚数解の個数をそれぞれ求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$P(x) = x^4 + (m-1)x^3 + 5x^2 + (m-3)x + n$ と $Q(x) = x^2 - x + 2$ が与えられている。$P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 2次方程式 $Q(x) = 0$ の解を求めよ。

(2) $n$ を $m$ を用いて表せ。また、$P(x)$ を $Q(x)$ で割ったときの商を $R(x) = x^2 + mx + m + C$ とするとき、$C$ を求めよ。

(3) 方程式 $R(x) = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、$m$ の取りうる値の範囲を求めよ。また、2つの虚数解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を求めよ。$\alpha\beta(\alpha+\beta) = -10$ のとき、$m$ の値を求め、方程式 $R(x) = 0$ の虚数解を求めよ。

(4) 方程式 $P(x) = 0$ の解について考える。異なる解が全部で3個、2個、4個になる時の$m$の値と虚数解の個数をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $Q(x) = x^2 - x + 2 = 0$ を解く。解の公式より

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$

(2) $P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$P(x) = Q(x)R(x)$ となる。ここで、$R(x) = x^2 + mx + m + c$ とする。

$P(x) = (x^2 - x + 2)(x^2 + mx + m + c) = x^4 + (m-1)x^3 + (m+c-m+2)x^2 + (-m-c+2m)x + 2(m+c)$

$x^4 + (m-1)x^3 + 5x^2 + (m-3)x + n = x^4 + (m-1)x^3 + (m+c+2-m)x^2 + (-m-c+2m)x + 2(m+c)$

$x^4 + (m-1)x^3 + 5x^2 + (m-3)x + n = x^4 + (m-1)x^3 + (c+2)x^2 + (m-c)x + 2m+2c$

係数を比較すると、

$5 = c+2$ より $c = 3$

$m-3 = m-c$ より $m-3 = m-3$

$n = 2m+2c = 2m+2(3) = 2m+6$

したがって、$n = 2m+6$, $R(x) = x^2+mx+m+3$

(3) $R(x) = x^2 + mx + m+3 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つためには、判別式 $D = m^2 - 4(m+3) < 0$ でなければならない。

$m^2 - 4m - 12 < 0$

$(m-6)(m+2) < 0$

$-2 < m < 6$

$\alpha + \beta = -m$, $\alpha\beta = m+3$

$\alpha\beta(\alpha+\beta) = -10$

$(m+3)(-m) = -10$

$-m^2 - 3m = -10$

$m^2 + 3m - 10 = 0$

$(m+5)(m-2) = 0$

$m = -5, 2$

$-2 < m < 6$ より、$m=2$

$R(x) = x^2+2x+5 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

(4)

$P(x) = Q(x)R(x) = (x^2-x+2)(x^2+mx+m+3)$

$Q(x) = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$ (虚数解)

$R(x) = 0$ の解は $-2 < m < 6$ で虚数解を持ち、$m \ge 6$ または $m \le -2$ で実数解を持つ。

$P(x) = 0$ の解が3個の場合

$R(x)$ が重解を持つとき。$m = -2$ または $m=6$

$m = -2$ のとき $R(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ なので $x=1$ (実数解)

$m = 6$ のとき $R(x) = x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ なので $x=-3$ (実数解)

$m=-2$ のとき、$P(x) = (x^2 - x + 2)(x-1)^2 = 0$ なので解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}, 1$ (実数)。虚数解は2個

$m=6$ のとき、$P(x) = (x^2 - x + 2)(x+3)^2 = 0$ なので解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}, -3$ (実数)。虚数解は2個

$P(x) = 0$ の解が2個の場合

$R(x) = 0$ の解が $Q(x) = 0$ の解と一致する場合

$m=-2$または$6$で、R(x)が重解を持ち、その値が$\frac{1 \pm \sqrt{7}i}{2}$と一致する場合。これはありえない

$P(x) = 0$ の解が4個の場合

$m$ が $-2, 6$ のいずれとも等しくないとき、$R(x)=0$は異なる二つの実数解を持つか、異なる二つの虚数解を持つ。

$m < -2$ または $6 < m$のときR(x)=0は異なる2つの実数解を持つ。

$P(x) = 0$ の4個の解は全て実数解となる。よって、虚数解は0個

$-2 < m < 6$ のときR(x)=0は異なる2つの虚数解を持つ。

$P(x) = 0$ の4個の解は2つの虚数解と2つの虚数解となるので虚数解は４個

3. 最終的な答え

ア：1

イ：7

ウ：2

エ：2

オ：6

カ：3

キク：-2

ケ：6

コ：-

サ：3

シ：2

スセ：-1

ソ：2

タチ：-2

ツ：6

テ：2

トナ：-2,6と一致することはない

ニ：4